sábado, 10 de dezembro de 2011

Conjuntos dos números naturais; sistema de numeração; e bases...

Introdução aos Números Naturais

O conjunto dos números naturais é representado pela letra maiúscula N e estes números são construídos com os algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, que também são conhecidos como algarismos indo-arábicos. No século VII, os árabes invadiram a Índia, difundindo o seu sistema numérico.

Embora o zero não seja um número natural no sentido que tenha sido proveniente de objetos de contagens naturais, iremos considerá-lo como um número natural uma vez que ele tem as mesmas propriedades algébricas que os números naturais. Na verdade, o zero foi criado pelos hindus na montagem do sistema posicional de numeração para suprir a deficiência de algo nulo. Para saber mais, clique nos links: Notas históricas sobre o zero ou Notação Posicional. Caso queira se aprofundar no assunto, veja o belíssimo livro: "História Universal dos Algarismos, Tomos I e II, Editora Nova Fronteira, 1998 e 1999", de Georges Ifrah.

Na sequência consideraremos que os naturais têm início com o número zero e escreveremos este conjunto como:

N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}

Representaremos o conjunto dos números naturais com a letra N. As reticências (três pontos) indicam que este conjunto não tem fim. N é um conjunto com infinitos números.

Excluindo o zero do conjunto dos números naturais, o conjunto será representado por:

N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...}

A construção dos Números Naturais

1.

Todo número natural dado tem um sucessor (número que vem depois do número dado), considerando também o zero.

Exemplos: Seja m um número natural.

(a) O sucessor de m é m+1.
(b) O sucessor de 0 é 1.
(c) O sucessor de 1 é 2.
(d) O sucessor de 19 é 20.

2.

Se um número natural é sucessor de outro, então os dois números juntos são chamados números consecutivos.

Exemplos:

(a) 1 e 2 são números consecutivos.
(b) 5 e 6 são números consecutivos.
(c) 50 e 51 são números consecutivos.

3.

Vários números formam uma coleção de números naturais consecutivos se o segundo é sucessor do primeiro, o terceiro é sucessor do segundo, o quarto é sucessor do terceiro e assim sucessivamente.

Exemplos:

(a) 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 são consecutivos.
(b) 5, 6 e 7 são consecutivos.
(c) 50, 51, 52 e 53 são consecutivos.

4.

Todo número natural dado n, exceto o zero, tem um antecessor (número que vem antes do número dado).

Exemplos: Se m é um número natural finito diferente de zero.

(a) O antecessor do número m é m-1.
(b) O antecessor de 2 é 1.
(c) O antecessor de 56 é 55.
(d) O antecessor de 10 é 9.

O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números naturais pares. Embora uma seqüência real seja um outro objeto matemático denominado função, algumas vezes utilizaremos a denominação sequência dos números naturais pares para representar o conjunto dos números naturais pares:

P = { 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...}

O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números naturais ímpares, às vezes também chamado, a sequência dos números ímpares.

I = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...}

Igualdade e Desigualdades

Diremos que um conjunto A é igual a um conjunto B se, e somente se, o conjunto A está contido no conjunto B e o conjunto B está contido no conjunto A. Quando a condição acima for satisfeita, escreveremos A=B (lê-se: A é igual a B) e quando não for satisfeita denotaremos tal fato por:

(lê-se: A é diferente de B). Na definição de igualdade de conjuntos, vemos que não é importante a ordem dos elementos no conjunto.

Exemplo com igualdade: No desenho, em anexo, observamos que os elementos do conjunto A são os mesmos elementos do conjunto B. Neste caso, A=B.

Consideraremos agora uma situação em que os elementos dos conjuntos A e B serão distintos.

Sejam A={a,b,c,d} e B={1,2,3,d}. Nem todos os elementos do conjunto A estão no conjunto B e nem todos os elementos do conjunto B estão no conjunto A. Também não podemos afirmar que um conjunto é maior do que o outro conjunto. Neste caso, afirmamos que o conjunto A é diferente do conjunto B.

Exercício: Há um espaço em branco entre dois números em cada linha. Qual é o sinal apropriado que deve ser posto neste espaço: <, > ou =?
159 170
852 321
587 587

Exercício: Representar analiticamente cada conjunto, isto é, através de alguma propriedade e depois por extensão, apresentando os elementos:

1.

Conjunto N dos números Naturais
2.

Conjunto P dos números Naturais Pares
3.

Conjunto I dos números Naturais Ímpares
4.

Conjunto E dos números Naturais menores que 16
5.

Conjunto L dos números Naturais maiores que 11
6.

Conjunto R dos números Naturais maiores ou iguais a 28
7.

Conjunto C dos números Naturais que estão entre 6 e 10

Origem: Answers Yahoo
Para mais explicação acesse: http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/naturais/naturais1.htm

Estudo de Zoologia Geral

Estudo de Zoologia Geral

ZOOLOGIA - Informações sobre as principais espécies animais, reprodução, habitat, fisiologia e muito mais.

Os Crustáceos - Eles são invertebrados e cobertos por uma dura carapaça. Leia mais.

Os Répteis - Eles habitam nosso planeta há milhões de anos. Saiba mais sobre estes animais

Insetos - Eles estão presentes em todos os lugares. São as moscas, abelhas, gafanhotos etc.

Nomes Científicos
Conheça os nomes científicos de algumas espécies de animais.

Anfíbios - Eles podem viverm dentro da água ou fora dela. Conheça seu ciclo de vida, desenvolvimento, reprodução, etc.

Animais Invertebrados - Saiba mais sobre os animais invertebrados, suas características, reprodução, etc.

Aracnídeos - Saiba mais sobre estes seres pertencentes ao filo dos artrópodes, suas características, reprodução, etc.

Animais Vertebrados - Saiba mais sobre os animais vertebrados, suas características, vantagens, etc.

Animais Herbívoros - Os herbívoros desempenham um papel muito importante na cadeia alimentar. Saiba mais...

Animais Mamíferos - Informações sobre as características, foto, classificação, diversos exemplos e curiosidade.

Equinodermos Conheça as características destes animais marinhos, regeneração, foto e exemplos de equinodermos.

Reprodução Assexuada - Características deste tipo de reprodução, regeneração, fragmentação, gemulação, etc.

Poríferos - Saiba mais sobre os poríferos, esponjas, características, reprodução, foto.

Platelmintos - Também conhecidos como vermes, estes animais costumam parasitar o ser humano, provocando doenças.

Origem: Answers Yahoo
Para mais explicações acesse: Toda Biologia.com

Traladação da Terra

Translação da Terra

A revolução da Terra, também conhecida como translação da Terra, é o movimento elíptico que a Terra realiza ao redor do Sol. Esse movimento, juntamente com a inclinação do eixo de rotação da Terra, é responsável pelas estações do ano.

O movimento demora 365 dias, 5 horas e 48 minutos a ser realizado. Como não há dias "quebrados", essas quase 6 horas são acumuladas ao longo de 4 anos até formar um dia, o dia 29 de fevereiro, que aparece no denominado Ano Bissexto. São anos bissextos, por definição, os múltiplos de 4, desde que não sejam também múltiplos de 100, exceto se forem múltiplos de 400. ex. 1600, 2000, 2004.

O sentido de translação da Terra é anti-horário se observado do espaço sideral do Norte para o Sul. Se observado do Sul para o Norte este movimento seria horário ^[1].

Para eliminar esta ambiguidade, podemos utilizar a convenção matemática do vetor velocidade angular $\vec \omega$ . Este vetor aponta para o norte, paralelo ao eixo de rotação, que se encontra no centro de massa do sistema Terra-Sol. A rotação da Terra segue o movimento no mesmo sentido, estando o seu eixo de rotação inclinado de 23° em relação ao plano de sua órbita.

Origem: Wikipedia

Rotação da Terra

Rotação é o movimento que a Terra faz ao girar em torno de seu próprio eixo no sentido anti-horário. Não só a Terra, mas todos os planetas do sistema solar e o Sol realizam o movimento de girar em torno de si mesmo. A rotação completa da Terra (360º) dura exatamente 23 horas 56 minutos 4 segundos e 9 centésimos.
Esse movimento é responsável por pela existência dos dias e das noites. Quando um lado da Terra está para o lado do sol, é dia, consequentemente, do lado oposto é noite. Sem o movimento da Rotação não haveria vida na Terra, já que este movimento desempenha um papel primordial no equilíbrio de temperatura e composição química da atmosfera.

A Terra realiza o movimento de rotação a uma velocidade impressionante: medida na linha do equador, ela atinge 1,674 km/h. É mais rápida que o som, que se propaga a cerca de 1,2 mil km/h. A velocidade de rotação de Júpiter, o maior planeta do sistema solar, é de 40 mil km/h na linha do equador.

A rotação do planeta Terra ocorre de oeste para leste, ou seja, o Leste vê o nascer do sol primeiro que o Oeste. Um exemplo disso é o caso do Brasil e do Japão, onde a diferença de fusos horários é exatamente 12 horas, assim, quando no Japão são 6h da manhã, no Brasil são 6h da tarde.

Origem: Wikipedia

Distribuição da Água no Planeta

DISTRIBUIÇÃO DA ÁGUA NO PLANETA

Água: Um bem tão precioso!

"A água é o constituinte mais característico da terra. Ingrediente essencial da vida, a água é talvez o recurso mais precioso que a terra fornece à humanidade. Embora se observe pelos países mundo afora tanta negligência e tanta falta de visão com relação a este recurso, é de se esperar que os seres humanos tenham pela água grande respeito, que procurem manter seus reservatórios naturais e salvaguardar sua pureza. De fato, o futuro da espécie humana e de muitas outras espécies pode ficar comprometido a menos que haja uma melhora significativa na administração dos recursos hídricos terrestres."

(J.W.Maurits la Rivière, Ph.D. em Microbiologia, Delft University of Technology, Holanda)

Quase toda a água do planeta está concentrada nos oceanos. Apenas uma pequena fração (menos de 3%) está em terra e a maior parte desta está sob a forma de gelo e neve ou abaixo da superfície (água subterrânea). Só uma fração muito pequena (cerca de 1%) de toda a água terrestre está diretamente disponível ao homem e aos outros organismos, sob a forma de lagos e rios, ou como umidade presente no solo, na atmosfera e como componente dos mais diversos organismos.

Origem: Ciências- 5ª Série

Calor e Temperatura

CALOR E TEMPERATURA

CALOR, TEMPERATURA, ENERGIA INTERNA E FONTES DE CALOR

Quando se fala em fontes de calor todos imediatamente pensam no fogo, no Sol, no carvão em brasa (para fazer aquele churrasquinho no final de semana), mas muito pouca gente imagina que a água pode ser uma fonte de calor, que o ar pode ser uma fonte de calor e que até nosso próprio corpo pode ser uma fonte de calor.

O que pode ser considerado como sendo fonte de calor ?

Vamos analisar a seguinte situação : Se você segurar uma pedra de gelo nas mãos ela irá com certeza derreter depois de certo tempo. Responda a seguinte pergunta : Qual dos dois corpos estava com uma temperatura maior, sua mão ou o gelo ?

Sua resposta com certeza foi que sua mão estava mais "quente". Como a temperatura da sua mão era maior que a temperatura do gelo, sua mão perdeu um pouco de energia térmica para o gelo. (Você verá em breve que damos o nome de calor para esta energia térmica que passou da sua mão para o gelo)

Será que podemos considerar sua mão, neste caso, como uma fonte de calor ? A resposta é: sim, podemos. Afinal o calor que derreteu o gelo veio dela.

Existe uma regra que sempre é válida nos fenômenos térmicos naturais.

"Sempre que encostarmos corpos, ou sistemas, que estejam com temperaturas diferentes, haverá troca de calor entre eles. E mais, o calor sempre passará do corpo de maior temperatura para o corpo de menor temperatura, até que ambos atinjam a mesma temperatura, ou seja, atinjam o equilíbrio térmico"

Mas e se por acaso os corpos já estiverem na mesma temperatura ?

Bom, neste caso não haverá troca de calor entre eles. Dizemos que eles já estarão em equilíbrio térmico.

Então, todo corpo ou sistema, que esteja mais quente do que a sua vizinhança, pode ser considerado como sendo uma fonte de calor. É fácil percebermos quem está mais quente olhando para o valor das suas temperaturas. Quanto maior a temperatura mais aquecidos estarão.

Mas de onde vem o calor ???

Todos os corpos possuem energia interna. Esta energia está de certa maneira "armazenada" nos corpos, e vem, entre outras coisas, do movimento ou da vibração dos átomos e moléculas que formam o corpo. Veja a animação abaixo.

Os pontinhos vermelhos representam as moléculas de um sólido qualquer.
Logicamente este é um exemplo bem simplificado. As vibrações são muito mais rápidas e não ocorrem de maneira tão organizada assim. Mas uma coisa é certa. Nos sólido as moléculas não se locomovem de um lado para outro do material, somente vibram.

No caso dos líquidos e gases, as moléculas conseguem, além de vibrar, locomover-se de um lado para o outro, principalmente nos gases.

A energia interna dos corpos então está relacionada com estes movimentos. Quanto maior a vibração, maior será a energia interna contida no material, e maior será sua temperatura. Mas cuidado, se um corpo tem maior temperatura que outro, não significa que sua energia interna também seja maior. Você saberia explicar porque ?

Quando encostamos dois corpos com temperaturas diferentes, ou seja, com níveis de vibração diferentes, a tendência é que parte da energia do corpo de maior temperatura passe para o corpo de menor temperatura. Eis ai o calor (energia indo de um corpo para outro). Isso só pára quando as moléculas dos dois corpos estiverem vibrando da mesma maneira. Neste caso os dois corpos estarão então com a mesma temperatura, e terão atingido o equilíbrio térmico.

Origem: Ciências- 5ª Série

quinta-feira, 8 de dezembro de 2011

Curiosidades dos Planetas

Os planetas anões

Pla neta anão é um corpo celeste muito semelhante a um planeta, dado que orbita em volta do Sol e possui gravidade suficiente para assumir uma forma com equilíbrio hidrostático (aproximadamente esférico), porém não possui uma órbita desimpedida, orbitando com milhares de outros pequenos corpos celestes.

Ceres, que até meados do século XIX era considerado um planeta principal, orbita numa região do sistema solar conhecida como cinturão de asteroides. Por fim, nos confins do sistema solar, para além da órbita de Netuno, numa imensa região de corpos celestes gelados, encontram-se Plutão e o recentemente descoberto Éris. Até 2006, considerava-se, também, Plutão como um dos planetas principais. Hoje, Plutão, Ceres, Éris, Makemake e Haumea são considerados como "planetas anões".

As luas e os anéis

Satélites naturais ou luas são objetos de dimensões consideráveis que orbitam os planetas. Compreendem pequenos astros capturados dacintura de asteroides, como as luas de Marte e dos planetas gasosos, até astros capturados da cintura de Kuiper como o caso de Tritão no caso de Neptuno ou até mesmo astros formados a partir do próprio planeta através do impacto de um protoplaneta, como o caso da Lua da Terra.

Os planetas gasosos têm pequenas partículas de pó e gelo que os orbitam em enormes quantidades, são os chamados anéis planetários, os mais famosos são os anéis de Saturno.

Corpos menores

A classe de astros chamados "corpos menores do sistema solar" inclui vários objetos diferenciados como são os asteroides, ostransneptunianos, os cometas e outros pequenos corpos.

Asteroides

Os asteroides são astros menores do que os planetas, normalmente em forma de batata, encontrando-se na maioria na órbita entre Marte eJúpiter e são compostos por partes significativas de minerais não-voláteis. A região em que orbitam é conhecida como Cintura de asteroides. Nela localiza-se também um planeta anão, Ceres, que tem algumas características próprias de asteroide, mas não é um asteroide. Estes são subdivididos em grupos e famílias de asteroides baseados em características orbitais específicas. Nota-se que existem luas de asteroides, que são asteroides que orbitam asteroides maiores, que, por vezes, são quase do mesmo tamanho do asteroide que orbitam.

Os asteroides troianos estão localizados nos pontos de Lagrange dos planetas, e orbitam o Sol na mesma órbita que um planeta, à frente e atrás deste.

As sementes das quais os planetas se originaram são chamadas de planetésimos: são corpos subplanetários que existiram durante os primeiros anos do sistema solar e que não existem no sistema solar recente. O nome é também usado por vezes para referir os asteroides e os cometas em geral ou para asteroides com menos de 10 km de diâmetro.

Centauros

Os centauros são astros gelados semelhantes a cometas que têm órbitas menos excêntricas e que permanecem na região entre Júpiter eNetuno, mas são muito maiores que os cometas. O primeiro a ser descoberto foi Quíron, que tem propriedades parecidas com as de um cometa e de um asteroide.

O maior centauro conhecido, 10199 Chariklo, tem um diâmetro aproximado de 250 km. Quíron, por sua vez, foi reclassificado como cometa (95P) uma vez que desenvolveu uma coma assim como um cometa ao se aproximar do Sol.

Transneptunianos

Os transneptunianos são corpos celestes gelados cuja distância média ao Sol encontra-se para além da órbita de Neptuno, com órbitas superiores a 200 anos e são semelhantes aos centauros.

Pensa-se que os cometas de curto período sejam originários desta região. Os planetas anões Plutão e Éris encontram-se, também, nesta região.

O primeiro transnetuniano foi descoberto em 1992. No entanto, Plutão, que já era conhecido há quase um século, orbita nesta região do sistema solar.

Meteoroides

Corpos celestes menores do que os asteroides são chamados meteoroides.Eles são constituídos por rocha e ferro ou apenas rocha.Muitos meteoroides são apenas pedaços de asteroides ou cometas.

Cometas

Cometa Hale-Bopp

Cometas são corpos menores do Sistema Solar, tipicamente com poucos quilômetros de tamanho, compostos basicamente de gelos voláteis. Eles têm órbitas altamente excêntricas, geralmente com um periélio dentro da órbita de um dos planetas interiores e um afélio bem depois de Plutão. Quando um cometa entra no Sistema Solar interior, sua proximidade do Sol causa a sublimação e ionização do gelo na superfície, criando uma coma: uma longa cauda de de gás e poeira às vezes visível a olho nu.

Cometas de curto período tem órbitas de menos de duzentos anos enquanto de longo período tem de mais mil anos. Acredita-se que os de curta duração foram formados no cinturão de Kuiper, enquanto os de longo período, como por exemplo o Hale-Bopp, foram formados na nuvem de Oort. Muitos grupos de cometas, tais como os Kreutz Sungrazers, foram formados da divisão de um único corpo.Alguns cometas com órbitas hiperbólicas podem ter sido formados fora do Sistema Solar, mas determinar sua órbita precisa é difícil.Cometas antigos que já perderam todos os gases voláteis pelo aquecimento do Sol são algumas vezes categorizados como asteróides.

Origem: Wikipedia